Основа большинства наук

Математика. Наверное, нет такого ученого, который не изучал хотя бы ее основы. Школа, вуз, аспирантура — эта точная наука везде не на последних ролях. В то же время мы настолько к ней привыкли, что воспринимаем как нечто обыденное, хотя любой профессионал-математик не задумываясь скажет: «это огромный мир, полностью постичь который невозможно». Заглянуть в этот мир, полный загадок и динамично развивающийся на протяжении тысячелетий, нам помог компетентный собеседник — заведующий отделом алгебры института математики НаН Беларуси доктор физико-математических наук профессор Вячеслав ЯНЧЕВСКИЙ.

— Вячеслав Иванович, когда математика начала впервые применяться человеком и когда она сформировалась как наука?
— Прежде всего давайте условимся, что же обе стороны (интервьюируемая и интервьюирующая) будут понимать под термином «математика». думаю, здесь необходимо уточнение, поскольку ваш вопрос, кажется, предполагает некое расширенное понимание этого предмета, для нас же он имеет более конкретный смысл (который, возможно, будет изменяться в течение интервью). Сначала о самом происхождении термина. Пифагор Самосский (который, согласно преданию, называл себя все же философом, а не софистом-мудрецом или математиком) был одновременно и ученым — искателем истины, и чудотворцем, и мудрецом, и пророком-проповедником, так что эта двойственность наложила отпечаток на школу его последователей, существовавшую на протяжении нескольких веков. достаточно быстро у пифагорейцев возникли два противоборствующих течения: «акусмата» (предписания на веру) и «математа» (наука, научные положения). акусматики исповедовали мистико-религиозные заповеди и догмы, таинства, посвящения и обряды. Вообще же, пифагорейцы проповедовали моральные принципы в духе религиозного аскетизма, нравственного совершенствования, основным средством к достижению которого и «очищению души» считались бескорыстные занятия наукой («математой»). Вот сторонники этой рациональной стороны пифагорейства и стали называться «математиками». для пифагорейцев существовали четыре «математы»: учение о числах (арифметика), теория музыки (гармония), учение о фигурах (геометрия) и астрономия (астрология), так что с современной точки зрения это немного расширенное толкование термина «математика». Хотя, если иметь в виду математические соотношения, возникающие и в музыке, и в астрономии, мы получаем совсем «неплохое» первое приближение к пониманию того, что такое «математика». Обратимся теперь непосредственно к вашему вопросу. Попытаемся ответить на него, исходя из предыдущего определения термина «математика». Ответ здесь может быть лишь весьма условным. Первая часть вопроса, по-видимому, подразумевает использование на практике каких-либо элементов математики в вышеупомянутом смысле, что, конечно, может предшествовать (и предшествовало) времени оформления математики как науки. к сожалению, наши знания о прошлом весьма ограниченны. Первая часть этой условности состоит в том, что современная наука не может с уверенностью определить время возникновения человека. Новые данные постоянно отодвигают эту дату все дальше и дальше в глубь веков. Вторая (и основная) причина условности связана с тем, что все наши суждения об истории человечества основаны на памятниках материальной культуры, большинство из которых не сохранилось, что навсегда похоронило надежды на знания многих цивилизаций. Поэтому первую часть вопроса, возможно, следует переформулировать следующим образом: на какое самое раннее время (период) указывают имеющиеся в нашем распоряжении источники материальной культуры в контексте применения математики человеком? Не принимая во внимание цивилизации, которые не оставили для нас никаких сведений (артефактов), а также цивилизации американского континента, рассмотрим нашу проблему на примерах традиционных культур Вавилона, древнего египта и эллады. Хотя применение математики могло быть связано не только с появлением чисел (например, это могли быть зачатки геометрии), все же мы можем утверждать, что у древних шумеров (3 тыс. лет до н.э. — шумерские города-государства) уже было понятие чисел и знаки для их обозначения, что впоследствии привело к возникновению шестидесятеричной системы счисления. Несмотря на впечатляющие успехи вавилонян и египтян в получении конкретных математических знаний (решение некоторых кубических уравнений, теорема Пифагора, обращение с натуральными дробями), честь оформления математики как науки принадлежит грекам, у которых, как следует считать по традиции, возникают первые доказательства геометрических теорем, приписываемые Фалесу Милетскому. кроме того, им приписывается создание математического мира, отвлеченного от окружающей действительности. Парадоксально, но пифагорейское учение изначально было направлено именно на описание реальности.

У аристотеля в «Метафизике» читаем: «так называемые пифагорейцы были первые, занимавшиеся науками. Поскольку в дальнейшем они узнали, что отношения и законы музыкальной гармонии основываются на числах и все остальные предметы по своей природной сущности также, по-видимому, походят на числа <…>, то они высказывали мнение, что элементы чисел являются элементами и всех вещей и что весь мир в целом является гармонией и числом».

Тут следует сказать несколько слов о математико-физических представлениях пифагорейцев о гармонии и Вселенной. В центре последней они помещали вечный мировой огонь, вокруг которого по десяти кругам-сферам движутся космические тела. это, во-первых, Млечный путь (или неподвижные звезды), затем пять известных тогда планет, потом Луна и Солнце и на последней, девятой, сфере — шарообразная Земля.

Движения планет пифагорейцы свели к числовым соотношениям. Вот как об этом пишет Морис клайн в своей книге «Математика. Утрата определенности»: «Они считали, что все тела, двигаясь в пространстве, издают звуки. должно быть, на эту мысль их навело наблюдение: камень, раскручиваемый на веревке, со свистом разрезает воздух. Пифагорейцы полагали, что быстро движущееся тело издает более высокий звук, чем тело, движущееся медленно. Согласно астрономическим воззрениям пифагорейцев, планеты движутся тем быстрее, чем дальше они находятся от Земли. Звуки, издаваемые ими, изменяются в зависимости от удаления от Земли и образуют гармоническое созвучие. Но эта «музыка сфер», подобно всякой гармонии, сводится к числовым отношениям, поэтому и движения планет также сводятся к числовым отношениям. Мы не слышим музыку небесных сфер потому, что привыкли к ней с самого рождения. <…> Свести музыку к простым отношениям чисел пифагорейцам удалось после того, как они совершили два открытия: во-первых, высота тона, издаваемого колеблющейся струной, зависит от ее длины, и, во-вторых, гармонические созвучия издают одинаково натянутые струны, длины которых относятся между собой как целые числа. Например, гармонические созвучия издают две одинаково натянутые струны, из которых одна вдвое длиннее другой. На современном языке интервал между тонами, издаваемыми двумя такими струнами, называется октавой. другое гармоническое созвучие издают две струны, длины которых соотносятся как 3:2. В этом случае более короткая струна издает ноту, которая на квинту выше тона, издаваемого более длинной струной. Пифагорейцы разработали знаменитую музыкальную шкалу. Мы не будем подробно останавливаться на музыке того периода. Заметим лишь, что многие греческие математики, в том числе евклид и Птолемей, посвятили музыке, в частности гармоническим созвучиям и построению музыкальной шкалы, специальные сочинения. <…> После того как пифагорейцы «свели» астрономию и музыку к числу, музыка и астрономия оказались связанными с арифметикой и геометрией, и все четыре дисциплины стали считаться математическими. Они вошли в программу общего образования, причем это положение сохранилось вплоть до средневековья. В средние века комплекс общеобразовательных дисциплин, состоящий из арифметики, геометрии, музыки и астрономии, получил название «квадривиум».

Таким образом, были найдены математические соотношения, связанные с астрономией, кроме того, они были определены и между различными тонами, производимыми музыкальными инструментами. Все это убеждало пифагорейцев, что весь реальный мир связан с какими-либо соотношениями между числами. Несомненно, что и многие геометрические соотношения, известные к тому времени, имели числовой характер. Поэтому у пифагорейцев возникло убеждение, что в основе всего лежит число, и изучение абстрактного мира чисел является основной задачей. Эта абсолютизация понятия «числа» и привела к возникновению исследований, не связанных с реальным миром.

Нашей задачей не является сколько-нибудь связное изложение истории математики древних вавилонян, греков и египтян, которая сама по себе — захватывающая область исторической науки. интересующемуся читателю мы можем рекомендовать опубликованную в 1950 г. и не потерявшую до сих пор актуальности книгу известного голландского математика Б.Л. ван дер Вардена «Пробуждающаяся наука. Математика древнего египта, Вавилона и Греции» (ее можно легко найти в интернете по адресу: http://naturalhistory.narod.ru/Person/Modern/Waerden/Nauka_ 1/N_1_Ogl.htm). из нее можно узнать, например, что теорема Пифагора за 1200 лет до него уже приводилась в вавилонских клинописных текстах, а пять правильных многогранников, часто называемых платоновыми телами, на самом деле были известны уже пифагорейцам (куб, тетраэдр и додекаэдр), а октаэдр и икосаэдр были, вероятно, открыты теэтетом. каждый школьник знает, что среднее арифметическое двух положительных величин A и B не меньше их среднего геометрического, а величина, обычно называемая их средним гармоническим, не превосходит среднего геометрического. то, что все эти названия естественным образом возникают из так называемой «золотой пропорции» Пифагора, связанной с гармонией в музыке, как и информацию о связи «золотого сечения» (термин, укоренившийся с легкой руки Леонардо да Винчи) с построением правильной пятиконечной звезды, также можно найти в этой книге.

— Можно ли сказать, что математика — это попытка человека разумного разложить на составляющие цельный мир природы, окружающий его? Можно ли утверждать, что именно появление математики стало первым шагом к осмыслению окружающего мира, первым проявлением «развитого» интеллекта?
— В своем нынешнем виде и наиболее абстрактных разделах математика не связана с природой. если же иметь в виду начало ее истории, то это скорее не попытка разложения на составляющие, а вычленение некоторых общих свойств определенного круга явлений и помещение построенного на этой основе объекта-модели в математический мир с дальнейшим его изучением методами математики. Что же касается абстрактного мышления как первого проявления интеллекта, то оно возникло вместе с орудиями труда, задолго до появления математики. Удивительные по красоте и совершенству наскальные рисунки, найденные в пещерах на юге Франции и испании, свидетельствуют о глубоких мыслительных способностях их авторов, не оперирующих математическими категориями. Вообще, здесь будут уместны следующие две цитаты из книги члена-корреспондента раН алексея Паршина «Путь. Математика и другие миры»: «Откуда взялись числа, не знает никто. этнографы объездили все страны вдоль и поперек и нашли народы, которым вполне хватает «один», «два» и «много». а между тем у них есть и изысканное искусство, и тончайшие мифы, и нетривиальные ремесла. Они такие же люди, как и мы, только без этого «один», «два», «три» и так далее до бесконечности. им Прометей не принес (стащил) «науку чисел, из наук важнейших». <…> В середине ХХ века этнографы отошли от прежних взглядов на первобытные народы как на «дикарей», неспособных даже к логическому мышлению. В мифах и ритуалах стали находить нетривиальные структуры, носящие иногда и математический характер».

Приведем, к примеру, аксиоматизированное Вейлем и Бушем описание правил бракосочетания в первобытных и архаических обществах.

A1: Все люди разбиваются на конкретное число групп или «кланов», причем мужчина из определенного клана может жениться лишь на женщине фиксированного (единственного!) клана и женщина из данного клана может выйти замуж лишь за мужчину фиксированного клана.
А2: Все дети определенной пары лиц принадлежат одному и тому же клану, однозначно определяемому кланами родителей (любого из родителей — см. а1).

А3: Ни один мужчина не может жениться на женщине того же клана (эта аксиома, в частности, запрещает браки между братьями и сестрами).

А4: клан, к которому относятся дети данной пары лиц, однозначно определяет кланы их родителей.

А5: если два лица связаны определенными родственными отношениями (прямыми или через «свойство», то есть порожденными брачными союзами), то ответ на вопрос о том, принадлежат ли они одному клану или нет, определяется характером этих родственных отношений, но не тем, к каким кланам эти лица принадлежат.

А6: каждое лицо может иметь родственников в любом клане (эта аксиома обеспечивает «связность» сообщества, не распадающегося на группы, не состоящие ни в каких родственных отношениях друг с другом).

— Все ли природные, социальные и другие явления можно описать математическим языком? Где находится та граница, которая отделяет «математический» мир от «нематематического», и сдвигается ли она с течением времени?

— Чтобы точнее ответить на ваш вопрос, давайте определим два основных понятия: «математический язык» и «описание явления». Начнем со второго. Под явлением мы будем понимать ситуацию рассмотрения множества событий, имеющих общие черты. Научное описание явления тогда означает выяснение устойчивых следствий, то есть не зависящих от других черт каждого из событий, которые их различают, возникающих из наличия у рассматриваемых событий этих общих черт (иногда бывает важно знать лишь некоторые из этих следствий). Выясним теперь, что же мы понимаем под математическим описанием явления. В науке существует также общий метод описания, называемый моделированием и заключающийся в следующем: вы заменяете ваше явление некоторым «похожим» событием (моделью), затем изучаете его и полученные результаты проверяете на событиях вашего явления. если все проверки приводят вас к одним и тем же выводам, возникает его описание, полученное с помощью модели. Что же такое описание математическим языком? Последний употребляется для оперирования с объектами математического мира. таким образом, описание математическим языком возникает из моделей, принадлежащих этому миру. Наконец, что же такое «математический» мир? Современные представления о нем таковы, что это иерархия математических объектов с морфизмами (отношениями между ними). Математические объекты мыслятся нами как множества, наделенные структурами, имеющими математический характер. к сожалению, рамки интервью не позволяют нам входить в строгие определения математических структур. Отметим лишь, что это некоторые соотношения определенного характера между элементами или подмножествами множества, из которого состоит объект. Все многообразие математических объектов возникает из трех основных типов структур — топологических, алгебраических, структур порядка и их всевозможных комбинаций. Математические объекты, имеющие одинаковые структуры, отнесенные к различным множествам, могут отображаться друг в друге. если при этом они сохраняют несущие на себе структуры, то возникает понятие морфизма. Объекты и морфизмы составляют понятие категорий, которые, в свою очередь, могут отображаться с помощью функторов и т.д. После этих уточняющих замечаний вернемся к вашему вопросу. итак, описание явления математическим языком — это изучение его с помощью математических моделей. По-видимому, поставленный вопрос можно переформулировать следующим образом: всемогущ ли метод математического описания явлений? такая формулировка предполагает следующие два вопроса. Во-первых, для всякого ли явления можно построить математическую модель и, во-вторых, можем ли мы исследовать ее исчерпывающим образом средствами математики (которая, в свою очередь, мыслится нами как наука, извлекающая с помощью логических средств все следствия, связанные с аксиомами структуры). Оставляя вне рамок нашего обсуждения первую проблему, обратимся ко второй. Здесь нас подстерегает большое разочарование относительно постоянно применяемого аксиоматического метода. как уже упоминалось, изучение математических объектов есть изучение их математических структур, которые, в свою очередь, суть отношения между частями этого множества, управляемыми «законами» этой структуры — ее аксиомами. тогда цель математика в изучении данной структуры состоит в получении всех следствий из этих аксиом. Следствия из аксиом выводятся с помощью законов логики (закона исключения третьего, закона противоречия и т.д.), из которых вытекает справедливость применения метода доказательства от противного. Чтобы наше обсуждение не было слишком общим, обратимся к обычной планиметрии, которая исходит из некоторого множества, называемого плоскостью (ее элементы именуются точками). Внутри этого множества выделены некоторые подмножества — прямые. Между прямыми и точками существует отношение принадлежности (точка либо принадлежит, либо не принадлежит прямой). аксиомы планиметрии, связанные с этим отношением, таковы: через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая (проходит, значит, эти две точки ей принадлежат); любая прямая не исчерпывает всей плоскости.

Часто сюда же добавляют и аксиому евклида о параллельных. В планиметрии существуют и другие отношения, например, отношение «точка лежит между двумя», которое также сопровождается своими аксиомами. Полный список аксиом для планиметрии (и более общо для геометрии) впервые был дан давидом Гильбертом. таким образом, цель планиметрии состоит в том, чтобы получить все следствия из списка ее аксиом посредством логики, обычно называемой аристотелевой. Что же означает «Получить все следствия»? Упрощенно говоря, суметь ответить на любой вопрос типа «истинно или ложно заданное высказывание об объектах планиметрии?». иными словами: всемогущ ли наш метод исследования? Второй кардинальный вопрос: «надежны» ли наши аксиомы и правила логики, то есть не приведет ли их использование к утверждению одновременно истинному и ложному? если ответ на второй вопрос положителен, то есть в рамках планиметрии не бывает противоречивых высказываний, то всегда существует утверждение, которое мы не сможем никогда ни доказать, ни опровергнуть. Оказывается, знание ответа на второй вопрос для нас также недоступно. Оба эти результата в более общей форме были в первой половине прошлого века доказаны австрийским математиком куртом Геделем. Заметим, что эти же проблемы в равной мере связаны и с физикой, и другими науками. Правда, например, в физике критерием истины является экспериментальное подтверждение. интересующемуся читателю мы можем порекомендовать две популярные и в то же время достаточно серьезные книги Мориса клайна (http://listlib.narod. ru/matematika/matematika_poisk_istini.djvu, http://www.krelib.com/files/math/Matem_ Klain.djvu). Чтобы сохранить у читателя оптимизм, заметим, что помимо утверждений, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках какой-то системы аксиом, существует «океан» других утверждений, где мы состоятельны, а история науки показывает, что математический метод все же приводит к поражающим позитивным результатам и, по-видимому, будет и в дальнейшем играть доминирующую роль в исследовании процессов природы и общества. Что касается вопроса о границе «математического» мира и «нематематического», то понятно, что здесь следует уточнить термин «нематематический» мир, что должно привести к обсуждению философских проблем, которые, кажется, уведут нас от основной темы интервью. Впрочем, в неуточняемом сейчас смысле могут существовать миры, вообще не имеющие общих границ. Возьмите, например, следующие из математики. рассмотрим множество рациональных чисел и два «мира»: «мир» чисел, квадрат которых не превосходит 2, и «мир» чисел, квадрат которых превосходит это число. Понятно, что все рациональные числа принадлежат одному из этих «миров». Но что же есть их граница? ее нет. Обнаружение этого факта повергло в свое время в шок греческую науку и было первым (впоследствии благополучно преодоленным) кризисом в математике.

— Математика сегодня лежит в основе большинства других наук. Не стала ли она при этом исключительно прикладной, развиваются ли в ее составе собственные фундаментальные направления?
— Ответ очень простой — не стала. Вопервых, число комбинаций основных математических структур настолько велико, что «математический» мир оказывается безбрежным. и даже если оставить в стороне явно бесплодные направления, а делать выбор, сообразуясь с тем пониманием, которое было у анри Пуанкаре, то и тогда запас интересных задач, объектов и направлений исследований будет настолько велик, что «голод» всякого нового исследователя может быть утолен в самых различных разделах фундаментальной математики. В качестве подтверждения нашего тезиса приведем следующий пример. Одной из самых почетных математических наград является филдсовская медаль, вручаемая на главных математических форумах — международных конгрессах математиков. На последнем, в Мадриде в 2006 г., она была присуждена австралийскому математику теренсу тао за решение следующей задачи, которая, несмотря на простую формулировку, долгое время не поддавалась решению. Заметим также, что в настоящее время она может быть отнесена только к фундаментальной науке (что не исключает ее применимость в будущем к использованию в прикладной математике).

Каждому школьнику хорошо известно определение арифметической прогрессии и простого числа. рассмотрим множество простых чисел, которое, как известно, бесконечно. Можно задаться следующим вопросом: существуют ли в этом множестве арифметические прогрессии бесконечной длины? достаточно быстро мы понимаем, что ответ отрицателен. действительно, для натурального числа N большего 2 рассмотрение ряда чисел N!+2, N!+3, … , N!+N (здесь N!=1•2•…•N)немедленно опровергает наше предположение о существовании таких прогрессий. родственный этому вопрос о прогрессиях конечной длины формулируется следующим образом: ограничены ли в совокупности длины конечных арифметических прогрессий, содержащихся во множестве простых чисел? достижение тао состояло в установлении факта существования конечных прогрессий сколь угодно большой длины.

— Как можно охарактеризовать уровень развития математической науки в Беларуси? В чем наша страна здесь наиболее сильна?
— Уровень развития математической науки у нас традиционно высок. Понятно, что при нынешнем громадном фронте математических исследований в мире белорусские математики не могут заполнить все ниши. Среди направлений, развиваемых ими на высоком международном уровне, следует отметить следующие: теорию дифференциальных уравнений, вычислительную математику, алгебру, в особенности ее раздел — алгебраическую геометрию, богатую приложениями, а также дискретную математику.

— Какие перспективы у математики, может ли она стать универсальным языком не только для естественных наук, но и для гуманитарных?
— В наше время мы становимся свидетелями все более расширяющегося фронта математизации других наук. Говорить о том, что математика станет универсальным языком для всех гуманитарных наук, быть может, было бы опрометчиво, поскольку сама математизация не предполагает замены каких-либо наук, а лишь предполагает внесение математических методов в исследование специфических проблем данной конкретной науки. Что же имеют математики в настоящее время, например, в контексте социологических исследований, кроме традиционных опросов и их анализа? Очень перспективной в этом направлении является теория категорий, которая успешно реализует «социологический» подход в изучении математических объектов и может успешно применяться для исследования отношений в обществе. коротко говоря, категория состоит из объектов и морфизмов между ними, которые можно рассматривать как наборы отношений между объектами, а они, в свою очередь, могут мыслиться какими-либо социальными группами в обществе. На морфизмы налагаются некоторые естественные условия. категории могут отображаться одна в другую, что позволяет существенно расширить класс исследуемых социальных проблем.

— Как на развитие математики влияют общие процессы, происходящие в мире, — всеобщая компьютеризация, переход к информационному обществу и т.д.?
— Не вдаваясь в разбор большого количества примеров, сделаем лишь несколько замечаний, подтверждающих тезис о позитивном влиянии этих процессов.
Первое — проблема четырех красок. В качестве гипотезы она была предложена Франсисом Гутри в 1852 г.: любую географическую карту можно раскрасить четырьмя красками так, что смежные государства всегда будут окрашены по-разному. ее доказательство удалось закончить только в 1976 г. Вольфгангу Хакену и кеннету аппелю, и оно носит комбинированный характер. Задача сводится к проверке конечного числа вариантов, которая до сих пор недоступна человеку и завершена с помощью компьютера.

Второе — гипотеза Гольдбаха, который в 1742 г. в письме Леонарду эйлеру высказал следующее предположение: каждое нечетное число большее 5 можно представить в виде суммы трех простых чисел. русский математик иван Виноградов в 1937 г. доказал, что гипотеза Гольдбаха верна для довольно больших нечетных чисел. Позже было установлено, что ее достаточно проверить для чисел меньших 3316. Несмотря на то что эта граница впоследствии была снижена, для доказательства гипотезы остается проверить все же очень большое количество чисел. Прогресс в развитии компьютеров оставляет нам надежду, что, как и в случае проблемы четырех красок, предположение Гольдбаха будет доказано.
Третье — в связи с развитием информационного общества все больше приложений получает криптография, существенным образом использующая объекты алгебраической геометрии, что породило много новых интересных задач.
Наконец, заметим, что развитие интернета позволило значительно облегчить контакты и обмен информацией для ученых.

— Мы не задумываемся над этим, но даже музыка сейчас в наших домах присутствует благодаря математике — кодам Рида-Соломона, используемым в компакт-дисках, да и на свет она появляется все чаще при помощи электронных музыкальных инструментов, работающих по математическим моделям. И так во многих других сферах жизни. Насколько математика связана с прогрессом и возможен ли вообще прогресс без математики?
— Здесь мне хотелось бы ограничить понятие прогресса развитием науки и техники. В этом контексте математика, несомненно, через свои приложения не только способствует прогрессу, но и часто определяет его направления развития. При этом математизация всех отраслей знания неизбежно вызывает необходимость дальнейшего развития математики. Отказ же от ее использования рано или поздно привел бы к истощению запасов математических форм и методов, что, несомненно, сказалось бы на дальнейшем прогрессе.

Владимир Лебедев