Биомеханическое моделирование в стоматологии

Компьютерное моделирование
ортодонтического аппарата
Из всех пороков развития лица и челюстей врожденные расщелины верхней губы и неба занимают ведущее место, причем особую проблему представляет лечение этих аномалий у взрослых пациентов [1, 2]. Для лечения сужения верхней челюсти используют комплексный подход, который предусматривает хирургическую подготовку, ортодонтическое лечение (быстрое верхнечелюстное расширение) и протетические мероприятия. Для расширения и сужения зубной дуги, перемещений и поворотов зубов применяются различные типы ортодонтических аппаратов. При их проектировании одной из основных задач стоматолога является разработка такой конструкции аппарата, которая позволит осуществить перемещение зуба в вестибуло-оральном или медио-дистальном направлении, а также повороты зуба.
В связи с этим результаты расчетов поля перемещений для различных конструкций ортодонтических аппаратов, в которых изменяется точка крепления стержней к коронкам, а также положение пластин в пространстве (рис. 1), представляют непосредственный практический интерес.
Поскольку каждый ортодонтический аппарат проектируется с учетом индивидуальных особенностей строения челюсти и зубов конкретного пациента, представляется целесообразной разработка параметризованной модели аппарата, на основании которой можно осуществлять генерацию различных конструкций, отличающихся друг от друга геометрическими параметрами. В рассматриваемом случае генерация геометрической модели ортодонтического аппарата выполнена в CAD-пакете CATIA по координатам центров оснований четырех цилиндрических насадок и точки, расположенной посередине винта, разжимающего пластинки. Реальный ортодонтический аппарат с обозначением характерных точек представлен на рис. 2.
В базовой модели ортодонтического аппарата начало координат совпадает с точкой. Координаты центров оснований насадок, значения площадей поперечного сечения и длин стержней, точки закрепления стержней по высоте и дуге окружности насадки могут быть изменены в интерактивном или командном режиме. Отметим, что такой детальный подход к описанию закрепления стержня является наиболее целесообразным, поскольку положение точки закрепления стержня на коронке существенно влияет на характер перемещения зуба. На рис. 3 в качестве примера представлена трехмерная твердотельная модель ортодонтического аппарата. Здесь точки Ai,
i=1,4Ї , являющиеся основаниями насадок, имеют координаты (-23; -15; -6), (-17; 5; -6), (15; 9; -6) и (18; -5; -6) соответственно (значения координат сформулированы в миллиметрах).
Диаметры двух цилиндрических насадок, предназначенных для моляров, равны 10 мм, двух коронок — для закрепления на премолярах — 8 мм. На дуге окружности, являющейся контуром коронки, посредством указания соответствующей точки задавалось закрепление одного из концов стержня. Другой конец каждого из стержней зафиксирован на одной из граней двух пластинок, которые моделировались в форме параллелепипедов размером 10х4х2 мм. Генерация моделей зубов осуществлялась посредством поворота заранее созданного профиля вокруг своей оси с учетом реальных размеров однокоренных зубов [3]. Изменяя положение точек закрепления стержней и коронок с опорными зубами, можно получить различные конструкции ортодонтических аппаратов, отличающиеся друг от друга положением коронок, длинами стержней и координатами точек закрепления стержней на коронке.
После построения трехмерной геометрической модели и процедуры ее импортирования в программную среду конечно-элементного пакета выполнялась генерация соответствующей дискретной модели. При этом в нашем случае для получения корректной конечно-элементной сетки, состоящей из гексагональных элементов, сложные фрагменты конструкции с помощью CAD-пакета CATIA разбивались на более простые составные части. После импорта модели в программную среду конечно-элементного пакета ANSYS Workbench в геометрическом модуле производилось объединение составляющих соответствующего элемента.
На конечно-элементную модель аппарата накладывались граничные условия в виде упругих связей, действующих на корни зубов. Учитывая малую податливость кортикальной костной ткани и периодонта, окружающих корни зубов, коэффициент жесткости принимался равным 1 МН/м [4]. Для каждой пластинки задавались перемещения вдоль оси абсцисс, противоположные по направлению и равные 0,1 мм. Стержни, соединяющие пластинки, имели одну степень свободы. В местах соединения насадок аппарата и поверхностей зубов задавался контакт типа Bonded, который соответствует случаю склейки двух поверхностей. Между поверхностями стержней, соединяющих пластинки, и внутренними поверхностями пластинки моделировался контакт типа Frictionless [5]. Он предполагает свободное скольжение с нулевым коэффициентом трения. Свойства материала, из которого изготовлен аппарат, описываются следующими материальными константами: модуль упругости E = 200 ГПа, коэффициент Пуассона ? =0,3, плотность ? = 7850 кг/м3. В результате расчета модели с учетом граничных условий получены распределения напряжений, деформаций и перемещений точек ортодонтического аппарата. Среди них наиболее важными для стоматолога-ортодонта представляются диаграммы перемещений, поскольку они позволяют оценить не только величину поступательных перемещений, но и поворотов корня зуба. Результаты визуализации векторных полей перемещений представлены на
рис. 4 (координаты центров насадок сформулированы выше, угол между стержнем и осью 0x равен 50°, между стержнем и осью 0y — 65°, стержни находятся в вертикальных плоскостях, проходящих через точку закрепления стержня на пластинке, коронке и вершину корня зуба).
Следует отметить, что изменение положения точки закрепления стержня на коронке ортодонтического аппарата существенно влияет на перемещение и повороты коронки на зубе. Соответствующие конечно-элементные расчеты показывают, что смещение точки закрепления стержня к положению, при котором сам стержень является касательной к поверхности коронки, приводит к появлению значительных крутящих моментов, поворачивающих зуб относительно координатных осей. На рис. 5 приведена диаграмма перемещений, возникающих при смещении пластинок аппарата на 0,4 мм, для случая, когда точкой закрепления стержня является точка касания стержня и цилиндрической поверхности насадки.
Вычислительный эксперимент по определению перемещений проводился для различных аппаратов, отличающихся друг от друга длинами стержней и углами наклона стержня к координатным осям декартовой системы координат. Значения углов наклона и длин стержней задавались в соответствии с реальными параметрами верхней челюсти пациента, полученными по результатам клинических обследований. Величина перемещений каждой из пластинок ортодонтического аппарата относительно точки A составляла 0,1 мм. Результаты расчета перемещений четырех зубов приведены в таблице (значения коэффициентов жесткости для связей, ограничивающих движение зубов, постоянные упругости, описывающие материал, из которого изготовлен ортодонтический аппарат, прежние). Нумерация стержней и зубов соответствует нумерации точек Ai, i = 1,4? . Точки закрепления стержней на насадках совпадают с точками пересечения осей координат локальных систем отсчета, связанных с коронками, с цилиндрической поверхностью насадки. Угол между координатной осью 0y и стержнями №1, №2 и №3 составляет 60°, между осью 0y и стержнем №4 — 70°.
Полученные результаты непосредственно использованы при проектировании ортодонтических аппаратов, внесении индивидуальных изменений в конструкцию протеза или ортодонтического аппарата, при расчете изменений напряженно-деформируемого состояния и оценки оптимальности конструкции и ее усовершенствовании.
Компьютерное моделирование
цельнометаллических коронок
Актуальная задача современной ортопедической стоматологии — оптимизация цельнометаллических коронок. Это обусловлено научными достижениями в технологии их изготовления, достигнутыми за счет литьевых керамических систем Empress, Optec, Dicor, прессованных Cerestore, Hi-ceram, In-ceram, а также фрезерованных керамических коронок Cerec-2 и Celay. При проектировании цельнометаллических коронок также целесообразно использовать метод конечных элементов, поскольку его применение позволяет избежать натурных испытаний, а также провести анализ действия как жевательной нагрузки, так и нестандартных функциональных нагрузок по величине, направлению и точке приложения.
Формы зубов, как правило, представляют собой сложные геометрические поверхности. С учетом этого обстоятельства при генерации твердотельной трехмерной модели зуба использовались координаты точек, находящихся на кривой, которая описывает сечение зуба вертикальной плоскостью. С применением стоматологической программы Cerec получены 6 поперечных срезов для резца и клыка такими плоскостями, отстоящими от края зуба на 0,8; 1,6; 3,2; 4,8; 6,4 и 7,2 мм. Диаграммы срезов для каждого сечения определили 11 точек, принадлежащих поверхности зуба. Координаты точек использовались для построения сплайнов, кривизна которых может быть изменена посредством добавления или удаления точек. На базе полученного семейства кривых проводилась генерация поверхности, гладкость которой может регулироваться с помощью угла и величины отклонения для каждого из сплайнов. На рис. 6 представлено семейство кривых и соответствующая поверхность коронок для клыка и резца, построенных в CAD-пакете CATIA.
На основании сформированной поверхности выполнялась генерация «трехмерная твердотельная модель коронок для резца и клыка». Создание модели спиленного зуба, на который надевается коронка, осуществлялось аналогично — с использованием семейства сплайнов, представляющих собой эллипсы. После построения поверхности, соответствующей определенному семейству сплайнов, производилась генерация трехмерной твердотельной модели спиленного зуба (рис. 7).
В связи с тем что клеевой шов имеет малую толщину и его геометрия зависит от геометрии зуба, его моделирование велось по другой технологии. С применением функции Extract из твердотельной модели спиленного зуба производилось извлечение поверхности, которая будет соприкасаться с клеевым швом. С помощью функции Thick Surface извлеченной поверхности в направлении от зуба придавалась толщина 0,3 мм. Такой подход позволяет получить твердотельную модель клеевого шва, геометрия которого зависит от формы зуба. Для изменения его толщины, при расчете керамических коронок, достаточно поменять значение в дереве построения. Окончательным этапом в создании расчетной модели является формирование выреза под зуб в коронке на основании совместного использования внешней поверхности клеевого шва и булевской операции Subtract.
После импорта геометрии в модуле Simulation пакета ANSYS Workbench проводилось разбиение модели на конечные элементы, представляющие собой тетраэдры. Тип разбиения и размеры элементов определялись в автоматическом режиме, вследствие чего мы получили достаточно грубую модель, состоящую из 34 819 узлов и 19 601 элемента. Такой подход в разбиении модели представляется наиболее целесообразным с точки зрения экономии времени, потраченного на вычисление искомых параметров, поскольку в нашем случае требовалось произвести не единичный, а серию расчетов, отличающихся друг от друга использованием различных граничных условий и свойств материалов. Контактные взаимодействия между поверхностями зуба и клея, клея и коронки задавались с применением контакта типа Bonded, который соответствует случаю склейки двух поверхностей и не допускает скольжения или взаимного проникновения. При конечно-элементном расчете коронок для резца и клыка в качестве материала использовалось два вида керамики, один из которых характеризуется константами E = 62 ГПа и ? = 0,25, другой — E = 70 ГПа и ? = 0,19. Упругие свойства композитного клея описывались модулем Юнга E = 90 ГПа и коэффициентом Пуассона ? = 0,24.
В обоих случаях расчета коронок резца и клыка вычисления проводились для трех вариантов приложения нагрузки к области поверхности коронки, имеющей форму эллипса с полуосями 0,5 и 1 мм. В случае нагружения 1 сила равна 120 Н, направлена в отрицательном направлении оси ординат и наклонена относительно плоскости y0z на угол 82°; при нагружении 3 сила равна 100 Н, направлена также в отрицательном направлении оси ординат и наклонена относительно плоскости y0z 98°. Вектор силы в случае нагружения 2 ориентирован в отрицательном направлении оси ординат. Модуль силы здесь составил 300 Н. Основание зуба во всех случаях считалось неподвижным. Действие нагрузок на резец показано
на рис. 8.
После проведения серии расчетов, в которых изменились тип и величина прилагаемой нагрузки, а также материал керамической коронки, были получены поля напряжений для каждого компонента системы: коронки, клея и зуба. Результаты расчета напряжений по Мизесу, возникающих в коронке, клеевом шве и зубе под действием вертикальной нагрузки величиной 300 Н, приходящейся на каждую из эллиптических областей коронки клыка, представлены на рис. 9.
На рис. 9 видно, что наибольшие напряжения в коронке возникают в области приложения нагрузки, в клеевом шве и зубе — в области контакта коронки и зуба. Анализ результатов расчета для резца в случаях нагружения 1 и 3 показывает, что самое большое различие в эквивалентных напряжениях наблюдается в клеевом шве, и это должно быть учтено при протезировании зубов. Минимальные напряжения в коронке появляются при нормальной нагрузке типа 2, но тогда сильнее оказывается нагруженным клеевой шов. В случаях нагружения коронки для клыка в клеевом шве по сравнению с коронкой и спиленным зубом возникают наименьшие напряжения.
Компьютерное моделирование
мостовидных зубочелюстных протезов
Развитие и совершенствование методов зубного протезирования в стоматологии с учетом возрастающих запросов населения требуют тонкого и глубокого понимания вопросов планирования конструкций зубных протезов. Однако конструирование мостовидных протезов, как правило, происходит на основании клинического опыта врача-стоматолога, что часто является причиной неудач в протезировании пациентов. Далее рассмотрим реализацию функциональных возможностей CAD-пакета OGIL и графической оболочки ACIS, разработанных сотрудниками Белорусского государственного университета, и пакета ANSYS Workbench для генерации моделей протезов и определения их напряженно-деформированного состояния. Их совместное применение позволило создать расчетную базу для конструирования мостовидных протезов, а также объективно проанализировать процессы, происходящие в челюстно-лицевой области при различных видах протезирования.
Аналогично предыдущему случаю геометрическое моделирование моста основывается на технологии skinning-поверхностей. На рис. 10 приведены рабочие окна графической оболочки ACIS, содержащие семейства кривых, определяющие геометрическую форму протеза и соответствующую твердотельную модель с посадочными полостями.
После импорта геометрической модели мостовидного протеза в программную среду ANSYS Workbench для различных граничных условий проведен анализ его напряженно-деформированного состояния. Импортированная модель и модель с приложенной нагрузкой 6 кг/мм2 с жестко заделанными тремя опорными зубами представлены на рис. 11. Произведены расчеты полей эквивалентных напряжений и векторное поле перемещений (рис. 12).
На основании графического пакета OGIL и конечно-элементного пакета ANSYS Workbench разработана методика генерации трехмерных твердотельных моделей мостовидных протезов по томо-
графическим снимкам верхней челюсти и верхнего зубного ряда и проведения вычислительных экспериментов по определению напряженно-деформированного состояния модели, позволяющая осуществлять оптимизацию конструкции протеза с учетом индивидуальных особенностей пациента.
Представленные результаты реализации функциональных возможностей современных CAD/CAE применительно к проектированию ортодонтических аппаратов, цельнометаллических коронок и мостовидных протезов в ортодонтической и ортопедической стоматологии позволяют обнаруживать нежелательные явления и последствия, наблюдающиеся в ходе исправления прикуса и протезирования. Разработанные методики генерации геометрических трехмерных моделей и проведения вычислительного эксперимента могут быть непосредственно использованы для создания виртуальных лабораторий, собственных и импортозамещающих технологий проектирования в стоматологии.